1. Kuartil
Istilah kuartil dalam kehidupan kita sehari-hari lebih
dikenal dengan istilah kuartal.
Dalam dunia statistik, yang dimaksud dengan kuartil ialah titik atau skor atau
nilai yang membagi seluruh distribusi frekuensi ke dalam empat bagian yang sama
besar, yaitu masing masing sebesar ¼ N. jadi disini akan kita jumpai tiga buah
kuartil, yaitu kuartil pertama (Q1), kuartil kedua (Q2), dan kuartil ketiga
(Q3). Ketiga kuartil inilah yang membagi seluruh distribusi frekuensi dari data
yang kita selidiki menjadi empat bagian yang sama besar, masing-masing sebesar
¼ N, seperti terlihat dibawah ini
Jalan pikiran serta metode yang digunakan adalah sebagaimana yang telah kita
lakukan pada saat kita menghitung median. Hanya saja, kalau median membagi
seluruh distribusi data menjadi dua bagian yang sama besar, maka kuartil
membagiseluruh distribusi data menjadi empat bagian yang sama besar.
Jika
kita perhatikan pada kurva tadi, maka dapat ditarik pengertian bahwa Q2 adalah
sama dengan Median(2/4 N=1/2 N).
Untuk mencari Q1,Q2 dan Q3 digunakan rumus sebagai berikut
v
untuk data tunggal
Qn
= 1 + ( n/4N-fkb)
fi
v
untuk data kelompok
Qn
= 1 + (n/4N-fkb)x i
Fi
Qn = kuartil yang ke-n. karena titik kuartil
ada tiga buah, maka n dapat diisi dengan
bilangan: 1,2, dan 3.
1
= lower limit ( batas bawah nyata
dari skor atau interval yang mengandung Qn).
N = Number of cases.
Fkb = frekuensi kumulatif yang terletak
dibawah skor atau interval yang mengandung Qn.
Fi = frekuensi aslinya (yaitu frekuensi
dari skor atau interval yang mengandung Qn).
I = interval class atau kelas interval.
Catatan:
- istilah skor berlaku untuk data tunggal.
- istilah interval
berlaku untuk data kelompok.
Berikut
ini akan dikemukakan masing-masing sebuah contoh perhitungan kuartil ke-1,
ke-2, dan ke-3 untuk data yang tunggal dan kelompok.
1).
Contoh perhitungan kuartil untuk data tunggal
Misalkan
dari 60 orang siswa SMAN 8 Jurusan IPS diperoleh nilai hasil UN bidang studi
Ekonomi sebagaimana tertera pada table distribusi frekuensi berikut ini. Jika
kita ingin mencari Q1, Q2, dan Q3 (artinya data tersebut akan kita bagi dalam
empat bagian yang sama besar), maka proses perhitungannya adalah sebagai
berikut:
Table
3.11. Distribusi frekuensi nilai hasil UN dalam bidang studi Ekonomi dari 60
orang siswa SMAN 8 jurusan ips, dan perhitungan Q1, Q2, dan Q3.
Nilai
(x)
|
F
|
Fkb
|
46
45
44
43
42
41
40
39
38
37
36
35
|
2
2
3
5
F1
(8)
10
F1
(12)
F1
(6)
5
4
2
1
|
60=
N
58
56
53
48
40
30
18
12
7
3
1
|
Ø
Titik Q1= 1/4N = ¼ X 60 = 15 (
terletak pada skor 39). Dengan demikian dapat kita ketahui:138,50; fi = 6;
fkb = 12
Q1 = 1 + ( n/4N-fkb) = 38,50 +(15-12)
Fi
6
= 38,50 +0,50
= 39
Ø
Titik Q2= 2/4N = 2/4 X 60 = 30 (
terletak pada skor 40). Dengan demikian dapat kita ketahui: 1= 39,50; fi = 12;
fkb = 18
Q2 = 1 + ( n/4N-fkb) = 39,50 +(30-18)
Fi
12
= 39,50 +1,0
= 40,50
Ø
Titik Q3= 3/4N = 3/4 X 60 = 45 (
terletak pada skor 42). Dengan demikian dapat kita ketahui: 1= 41,50; fi = 8;
fkb = 40
Q3 = 1 + ( n/4N-fkb) = 41,50 +(45-40)
Fi
8
= 41,50+ 0,625
= 42,125
2).
Contoh perhitungan kuartil untuk data kelompok
Misalkan dari 80 orang siswa SMAN 8 jurusan IPS diperoleh skor hasil UN dalam
bidang studi Akuntansi sebagaimana disajikan pada tabel distribusi frekuensi
beikut ini ( lihat kolom 1 dan 2). Jika kita ingin mencari Q1, Q2, dan Q3, maka
proses perhitungannya adalah sebagai berikut:
Ø
Titik Q1= 1/4N = ¼ X 80 = 20 (
terletak pada interval 35-39). Dengan demikian dapat kita ketahui: 1= 34,50; fi
= 7; fkb = 13, i= 5.
Q1 = 1 + ( n/4N-fkb) Xi = 34,50 +(20-13) X5
Fi
7
=
34,50 +5
=
39,50
Ø
Titik Q2= 2/4N = 2/4 X 80 = 40 (
terletak pada interval 45-49). Dengan demikian dapat kita ketahui: 1= 44,50; fi
= 17; fkb = 35, i= 5.
Q1 = 1 + ( n/4N-fkb) Xi = 44,50 +(40-35) X5
Fi
17
=
44,50 +1.47
=
45,97
Ø
Titik Q3= 3/4N = 3/4 X 80 = 60 (
terletak pada interval 55-59). Dengan demikian dapat kita ketahui: 1= 54,50; fi
= 7; fkb = 59, i= 5.
Q1 = 1 + ( n/4N-fkb) Xi = 54,50 +(55-59) X5
Fi
7
=
54,50 + 0,71
=
55,21
Tabel
3.12. distribusi frekuensi skor-skor hasil UN bidang studi tata buku dari 80
orang siswa sman 8 jurusan ips, berikut perhitungan Q1,Q2, dan Q3.
Nilai
(x)
|
F
|
Fkb
|
70-74
65-69
60-64
55-59
50-54
45-49
40-44
35-39
30-34
25-29
20-24
|
3
5
6
7
7
17
15
7
6
5
2
|
80
77
72
66
59
52
35
20
13
7
2
|
Total
|
80=
N
|
-
|
Diantara kegunaan kuartil adalah untuk mengetahui simetris
(normal) atau a simetrisnya suatu kurva. Dalam hal ini patokan yang kita
gunakan adalah sebagai berikut:
1).
Jika Q3-Q2 = Q2- Q1 maka kurvanya adalah kurva normal.
2).
Jika Q3-Q2 > Q2- Q1 maka kurvanya adalah kurva miring/ berat ke kiri(juling
positif).
3).
Jika Q3-Q2 < Q2- Q1 maka kurvanya adalah kurva miring/ berat ke kanan(juling
negatif)
2.
Desil (D)
Desil (D) adalah suatu indeks yang membagi
suatu distribusi data menjadi 10 bagian atau kategori. Jika suatu distribusi
dibagi menjadi 10 kategori maka diperlukan 9 titik batas desil, yaitu D1, D2, D3,
D4, D5, D6, D7, D8, dan D9. Dasar perhitungan desil adalah menggunakan angka
persepuluhan. D1 = 1/10 N, D2 = 2/10 N, D5 = 5/10 N, D9 = 9/10 N dan
seterusnya. Rumus-rumus untuk menghitung desil:
Tabel
3.17 adalah contoh untuk mencari desil tiga (D3)
terval
Nilai
|
f
|
fk
|
||||
28
– 32
23
– 27
18
– 22
13
– 17
8
– 12
3
– 7
|
5
2
4
3
(6)
3
|
23
18
16
12
9
(3)
|
||||
Jumlah
|
23
|
-
|
||||
Misalkan kita akan menghitung Desil tiga, maka
langkah-langkah yang akan kita lakukan adalah sebagai berikut.
Diketahui,
= 6,69 (terletak pada fk = 9 interval 8 – 12)
Maka nilai D3 dapat
dihitung sebagai berikut:
Arti dari D3 = 10,75 adalah bahwa
nilai 10,75 itu membatasi 30% (3/10N) frekuensi di bawah distribusi dan 70%
(7/10N) frekuensi di sebelah atas distribusi. Untuk penghitungan macam-macam
desil yang lain menggunakan prosedur yang sama. Apabila nanti diteruskan sampai
perhitungan D5 maka akan dijumpai penggunaan angka dasar 5/10N yang harganya
sama dengan ½ N (angka dasar pada median dan K2), hal ini menunjukkan bahwa
sebenarnya D5 = Mdn = K2.
3.
Persentil
Persentil yang
biasa dilambangkan P, adalah titik atau nilai yang membagi suatu distribusi
data menjadi seratus bagian yang sama besar. Karena itu persentil sering
disebut ukuran perseratusan.
Titik yang membagi distribusi data ke dalam
seratus bagian yang sama besar itu ialah titik-titik: P1, P2, P3, P4, P5, P6, …
dan seterusnya, sampai dengan P99. jadi disini kita dapati sebanyak 99 titik
persentil yang membagi seluruh distribusi data ke dalam seratus bagian yang
sama besar, masing-masing sebesar 1/ 100N atau 1%, seperti terlihat pada kurva
dibawah ini:
Untuk
mencari persentil digunakan rumus sebagai berikut:
Untuk
data tunggal:
Pn = 1 +(n/10N – fkb)
Fi
Untuk
data kelompok:
Pn = 1+ (n/10N- fkb) xi
Fi
Pn = persentil yang ke-n (disini n dapat
diisi dengan bilangan-bilangan:1, 2, 3, 4, 5,
dan seterusnya sampai dengan 99.
1 = lower limit(batas bawah nyata dari skor atau interval yang mengandung persentil ke-n).
dan seterusnya sampai dengan 99.
1 = lower limit(batas bawah nyata dari skor atau interval yang mengandung persentil ke-n).
N = number of cases.
Fkb = frekuensi kumulatif yang terletak
dibawah skor atau interval yang mengandung
persentil ke-n.
persentil ke-n.
Fi = frekuensi dari skor atau interval
yang mengandung persentil ke-n, atau frekuensi aslinya.
I = interval class atau kelas interval.
Tabel.
3.15. Perhitungan persentil ke-5, persentil ke-20 dan persentil ke-75 dari data
yang tertera pada tabel 3.13.
Nilai
(x)
|
F
|
Fkb
|
70-74
65-69
60-64
55-59
50-54
45-49
40-44
35-39
30-34
25-29
20-24
|
3
5
6
7
7
17
15
7
6
5
2
|
80
77
72
66
59
52
35
20
13
7
2
|
Total
|
80=
N
|
-
|
1).
Contoh perhitungan desil untuk data tunggal
Misalkan
kita ingin mencari persentil ke-5 (P5), persentil ke-20 (P20), dan ke-75
(P75),dari data yang disajikan pada tabel 3.13 yang telah dihitung desilnya
itu. Cara menghitungnya adalah sebagai berikut:
Ø
Mencari persentil ke-5 (P5):
Titik P5= 5/10N= 5/10X60= 3 (terletak pada skor 36). Dengan
demikian dapat kita ketahui: 1= 35,50; fi= 2, dan fkb= 1.
P5= 1 + (5/10N-fkb) =36,50 +(3-1)
Fi
2
= 36,50
Ø
Mencari persentil ke-75 (P75):
Titik P75= 75/10N= 75/10X60= 45 (terletak pada skor 42).
Dengan demikian dapat kita ketahui: 1= 41,50; fi= 8, dan fkb= 40
P75= 1 + (75/10N-fkb) =41,50 +(45-40)
Fi
8
= 42,125
2).
Cara mencari persentil untuk data kelompok
Misalkan kembali ingin kita cari P35 dan P95 dari data yang disajikan pada
tabel 3.14.
Ø
Mencari persentil ke-35 (P35):
Titik P35= 35/100N= 35/100X80= 28 (terletak pada interval
40-44). Dengan demikian dapat kita ketahui: 1= 39,50; fi= 15, dan fkb= 20, i=5
P35= 1 + (35/100N-fkb) Xi =39,50 +(45-40) X 5
Fi
8
= 39,50+2,67
= 42,17
Ø
Mencari persentil ke-95 (P95):
Titik P95= 95/100N= 95/100X80= 76 (terletak pada interval
65-69). Dengan demikian dapat kita ketahui: 1= 64,50; fi= 5, dan fkb= 72, i=5
P95= 1 + (95/100N-fkb) Xi =64,50 +(65-69) X 5
Fi
5
= 64,50+4
= 68,50
Tabel
3.16. Perhitungan persentil ke-35 dan persentil ke-95 dari data yang tertera
pada tabel
3.14.
Nilai
(x)
|
F
|
Fkb
|
70-74
65-69
60-64
55-59
50-54
45-49
40-44
35-39
30-34
25-29
20-24
|
3
5
6
7
7
17
15
7
6
5
2
|
80
77
72
66
59
52
35
20
13
7
2
|
Total
|
80=
N
|
-
|
Kegunaan
persentil dalam dunia pendidikan adalah:
- Untuk mengubah rawa score (raw data) menjadi standard score (nilai standar).
Dalam
dunia pendidikan, salah satu standard score yang sering digunakan adalah eleven
points scale ( skala sebelas nilai) atau dikenal pula dengan nama standard of
eleven (nilai standard sebelas) yang lazim disingkat dengan stanel.
Pengubahan dari raw score menjadi stanel itu dilakukan
dengan jalan menghitung: P1- P3- P8- P21- P39- P61- P79- P92- P97- dan P99.
Jika data yang kita hadapi berbentuk kurva normal (ingat:
norma atau standar selalu didasarkan pada kurva normal itu), maka dengan 10
titik persentil tersebut diatas akan diperoleh nilai-nilai standar sebanyak 11
buah, yaitu nilai-nilai 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, dan 10.
- Persentil dapat digunakan untuk menentukan kedudukan seorang anak didik, yaitu: pada persentil keberapakah anak didik itu memperoleh kedudukan ditengah-tengah kelompoknya.
- Persentil juga dapat digunakan sebagai alat untuk menetapkan nilai batas lulus pada tes atau seleksi.
Misalkan
sejumlah 80 orang individu seperti yang tertera pada tabel 3.16. itu hanya akan
diluluskan 4 orang saja (=4/ 80 X 100%= 5%) dan yang tidak akan diluluskan
adalah 76 orang (= 76X80 X 100%=95%), hal ini berarti bahwa P95 adalah batas
nilai kelulusan. Mereka yang nilai-nilainya berada pada P95 kebawah, dinyatakan
tidak lulus, sedangkan diatas P95 dinyatakan lulus. Dalam perhitungan diatas
telah kita peroleh P95= 68,50; berarti yang dapat diluluskan adalah mereka yang
nilainya diatas 68,50 yaitu nilai 69 ke atas.
