Tugas Statistik Ke-4 Pengukuran Gejala Pusat

Ukuran gejala pusat adalah dimaksudkan sebgai parameter atau ukuran keterpusatan data. Ukuran keterpusatan data ini digunakan untuk mendapatkan gambaran yang lebih jelas dari suatu persoalan yang terhimpun dalam sekumpulan data. Ukuran ini sering kali dijadikan wahana penilaian dan pengambilan keputusan, sehingga keberadaan ukuran keterpusatan data tersebut boleh dikatakan sangat berarti dalam rangka melakukan analisis data. Dalam halnya, ada tiga ukuran gejala pusat sering digunaka pada umumnya, yaitu Modus, Median, dan Mean

MODUS

Modus merupakan nilai yang paling sering muncul dalam suatu pengukuran. Seperti misalnya, “Kebanyakan pemuda di Indonesia menghisap rokok”. Pernyataan disamping ini menunjukkan bahwa modus penyebab Kebanyakan pemuda di Indonesia menghisap rokok. Pernyataan semacam itu biasanya disertai oleh sebuah tabel yang berisi faktor-faktor penyebab pemuda penghisap rokok dengan frekuensi atau presentase masing-masing faktor. Modus tidak harus tunggal, artinya nilainya bisa lebih dari satu. Adapun cara mencari modus untuk data tunggal tinggal dilihat frekuensinya.

Contoh pada data kuantitatif

Hasil observasi terhadap umur pegawai di departemen X adalah : 20, 45,60, 56,45, 45, 20, 19, 57, 45, 51, 35. Untuk mengetahui modus umur dari pegawai tersebut dapat melalui tabel dibawah ini

Dari tabel diatas, dapat dilihat bahwa yang paling banyak muncul dari observasi adalah umur 45. Munculnya sebanyak 5 kali, atau Frekuensinya 5. Jadi dapat dijelaskan bahwa sebagian besar pegawai di departemen X adalah berumur 45 tahun.

Dalam suatu kelompok data hasil observasi, mungkin modusnya lebih dari satu. Dari 13 orang diatas misalnya terdapat 5 orang yang berumur 45 tahun, dan 2 orang yang berumur 20 tahun. Maka, modusnya adalah 45 dan 20 tahun.

Untuk mencari modus pada data kuantitatif, dapat dilakukan dengan rumus

Dengan : Mo = Modus

L          =   Tepi bawah kelas yang memiliki frekuensi tertinggi (kelas modus)

i           =   Interval kelas

b1        = Frekuensi kelas modus dikurangi frekuensi kelas interval terdekat sebelumnya
b2        =   frekuensi kelas modus dikurangi frekuensi kelas interval terdekat sesudahnya

MEDIAN

Di dalam statistik, median dikenal sebagai titik atau nilai yang membagi seperangkat data menjadi dua bagian sama banyak. Dalam  definisi, median adalah salah satu teknik penjelasan kelompok yang didasarkan atas nilai tengah dari kelompok data yang telah disusun urutannya dari yang terkecil sampai yang terbesar, atau sebaliknya. Median merupakan suatu nilai yang membagi distribusi data menjadi dua bagian yang sama besar atau suatu nilai yang membagi 50% frekuensi bagian atas dan 50% frekuensi bagian bawah, sehingga frekuensi yang terdapat di atas sama dengan frekuensi yang trdapat di bawah.Oleh karena itu median dari sejumlah data tergantung pada frekuensinya bukan variasi nilainilainya.  Median biasanya digunakan sebagai ukuran gejala pusat pada perangkat data yang distribusi atau penyebarannya sangat juling ke kiri atau ke kanan (tidak simetrik). Distribusi ini seringkali memiliki skor-skor ekstrim.

Rumus dari Median adalah sebagai berikut :

Jika data belum dikelompokkan :

Rumus Data yang dikelompokkan

Dengan : Qj = Kuartil ke-j

j = 1, 2, 3

i = Interval kelas

Lj = Tepi bawah kelas Qj

fk = Frekuensi kumulatif sebelum kelas Qj

f = Frekuensi kelas Qj

n = Banyak data

Misal data umur pegawai di Departemen X, (contoh dalam modus), untuk dapat mencari mediannya harus disusun terlebih dahulu urutannya. Dari data yang diberikan, setelah disusun urutannya, dari terkecil hingga terbesar menjadi seperti berikut :

19, 20, 20, 35, 45, 45, 45, 45, 45, 45, 51, 56, 57, 60

Nilai dari tengah dari kelompok data tersebut adalah urutan ke-7, yaitu 45. Jadi mediannya adalah 45. Pada contoh kasus ini, mediannya sama dengan modus. Contoh kedua ialah misal tinggi 10 orang mahasiswa adalah sebagai berikut.

145, 147, 167, 166, 160, 164, 165, 170, 171, 180 cm

Untuk mencari mediannya, maka data tersebut harus diurutkan terlebih dahulu, misal seperti berikut

180, 171, 170, 167, 166, 165, 164, 160, 147, 145 cm

Jumlah individu dalam kelompok tersebut adalah genap, maka nilai tengahnya adalah dua angka yang di tengah di bagi dua, atau rata-rata dari dua angka yang tengah. Nilai tengah dari kelompok tersebut adalah nilai ke 5, dan nilai ke 6. Mediannya = (166+165)/2 = 165,5 cm. Dengan demikian, dapat dijelaskan bahwa rata-rata median tinggi badan kelompok mahasiswa itu adalah 165,5 cm.

MEAN

Mean (rata-rata) adalah merupakan gejala pusat yang sering digunakan. Mean diperoleh dari menjumlahkan seluruh nilai dan membaginya dengan jumlah individu. Dalam istilah sehari-hari ia disebut angka rata-rata. Dalam statistika ia kerapkali disebut Mean Aritmatika dan diberi symbol M. Rata-rata ini juga merupakan ukuran gejala pusat yang paling dikenal karena karena memiliki pengertian yang sama dengan konsep rata-rata yang sudah dipelajari sejak dari SD. Rata-rata ini didapat dengan menjumlahkan data seluruh individu dalam kelompok itu, kemudian dibagi dengan jumlah individu yang ada pada kelompok tersebut.

Rumus untuk menghitung Mean adalah sebagai berikut.

dimana Me = Mean (rata-rata) 

Z = Epsilon (baca jumlah)

Xj = Nilai x ke i sampai ke n

N = Jumlah individu

Contoh 1:

Sepuluh pegawai di PT Garuda penghasilan sebulannya dalam satuan ribu rupiah adalah seperti berikut:

90, 120, 160, 60, 180, 190, 90, 180, 70, 160.

Untuk mencari mean atau rata-rata data tersebut tidak perlu diurutkan nilainya seperti dalam mencari median, tetapi dapat langsung diju.mlahkan, kemudian dibagi dengan jumlah individu dalam kelompok tersebut. Berdasarkan data tersebut maka mean dapat dihitung yaitu:

Me = (90 + 120 + 160 + 60 + 180 + 190 + 90 + 180 + 70 + 160) : 10

Me = 130 ribu rupiah.

Jadi penghasilan rata-rata pegawai di PT Garuda adalah Rp. 130.000,-.

Seperti telah dikemukakan bahwa, menjelaskan keadaan kelompok berarti setiap pernyataan kualitatif maupun kuantitatif yang ditunjukkan pada kelompok itu harus dapat mewakili individu-individu yang ada dalam kelompok itu. Ini berarti bahwa setiap pernyataan yang ditunjukkan pada kelompok itu diharapkan tidak terjadi penyimpangan yang ekstrim dengan setiap individu di dalam kelompok itu. Misalnya memberikan penjelasan kelompok dengan mean, yang menyatakan rata-rata penghasilan pegawai di suatu departemen adalah Rp. 130.000,- maka individu-individu dalam kelompok itu penghasilannya tidak jauh dari Rp. 130.000,-.

Tugas Statistik Ke-4 Distribusi Frekuensi

1. Pengertian

Distribusi Frekuensi adalah pengelompokkan data ke dalam beberapa kategori yang menunjukkan banyaknya data dalam setiap kategori, dan setiap data tidak dapat dimasukkan ke dalam dua atau lebih kategori. Distribusi frekuensi adalah susunan data dalam bentuk tunggal atau kelompok menurut kelas-kelas tertentu dalam sebuah daftar.

2. Jenis-jenis distribusi frekuensi

A. Distribusi frekuensi tunggal

Distribusi frekuensi tunggal merupakan urutan tiap-tiap skor, satuan-satuan unit dalam suatu data tertentu.

B. Distribusi frekuensi kelompok

Digunakan untuk data yang banyak jumlahnya. Karena data tidak lagi setiap skor tetapi dikelompokkan pada interval tertentu.

3. Penyajian data / Grafik

      Data yang sudah dikelompokkan dalam bentuk table distribusi frekuensi dapat disajikan dalam bentuk grafik supaya menjadi lebih menarik dan informative

1. Batas kelas dalam suatu interval kelas atau kategori terdiri dua macam yaitu batas kelas bawah (lower class limit) yaitu nilai terendah dalam suatu interval kelas dan batas kelas atas ( upper class limit) yaitu nilai tertinggi dalam suatu interval kelas
2. Nilai tengah kelas adalah tanda atau penciri dari suatu interval kelas dan merupakan suatu angka yang dapat dianggap mewakili suatu interval kelas. Nilai tengah kelas letaknya berada ditengah-tengah pada setiap interval kelas. Nilai tengah kelas diperoleh dengan menjumlahkan batas bawah dan batas atas kelas kemudian dibagi 2.
3. Nilai tepi kelas (class boundaries) adalah nilai batas antara kelas (border) yang memisahkan nilai antara kelas satu dengan kelas lainnya. Nilai tepi kelas diperoleh dari penjumlahan nilai atas kelas dengan nilai bawah kelas diatasnya dan kemudian dibagi dua. Nilai tepi kelas ada dua macam nilai tepi kelas bawah (lower class boundaries) dan nilai tepi kelas atas (upper class boundaries)
4. Frekuensi kumulatif menunjukan seberapa besar jumlah frekuensi pada tingkat kelas tertentu. Frekuensi kumulatif diperoleh dengan menjumlahkan frekuensi pasa kelas tertentu dengan frekuensi kelas selanjutnya. Frekuensi kumulatif dibedakan dalam dua bentuk yaitu frekuensi kumulatif kurang dari yang merupakan penjumlahan dari mulai frekuensi kelas terendah sampai kelas tertinggi dan jumlah akhirnya merupakan jumlah data (n).  frekuensi kumulatif lebih dari merupakan pengurangan dari jumlah data (n) dengan frekuensi setiap kelas dimulai dari kelas terendah dan jumlah akhirnya adalah nol.

4. Terdapat tiga jenis grafik, yaitu :

Histogram

 

Histogram adalah salah satu cara menyatakan daftar ditribusi frekuensi atau distribusi frekuensi relatif. Pada histogram, variable ditulis pada sumbu horizontal, dan frekuensi (ataupun frekuensi relatif) digambarkan sebagai panjang dari persegi panjang. Lebar persegi panjang adalah lebar dari kelas interval sehingga antara persegi panjang yang satu dengan yang lain tidak memiliki jarak. 

Contoh pada data tunggal 

Tentukan histogram untuk daftar distribusi frekuensi dan frekuensi relatifnya berdasarkan data jumlah siswa yang terlambat masuk sekolah selama 30 hari di SMAN 8 Bekasi 

Maka histrogamnya

Contoh pada data berkelompok

Diketahui nilai ujian 40 siswa di SMA 8 Bekasi. Tentukan histogram daftar distribusi frekuensi dan frekuensi relatifnya.

Maka histogramnya

Poligon Frekuensi

Poligon frekuensi merupakan salah satu cara untuk menggambarkan distribusi frekuensi. Untuk memperoleh distribusi frekuensi, kita tempatkan titik di tengah sisi lebar dari setiap persegi panjang. Kemudian, titik-titik tersebut dihubungkan sehingga kita memperoleh grafik garis yang kita sebut dengan poligon frekuensi

Contoh pada data tunggal

Tentukan poligon frekuensi dari data di bawah ini

Cara membuat poligon frekuensi

sehingga poligon frekuensinya

Contoh pada data berkelompok 

Tentukan poligon frekuensi relatif dari data berkelompok berikut 

Untuk data berkelompok, kita harus mencari titik tengah setiap kelas dan tentukan posisinya pada garis horizontal. Tinggi frekuensi setiap kelas ditentukan pada sumbu vertikal.

Ogive

Kurva distribusi frekuensi kumulatif disebut ogive. Ogive dibuat dengan cara menempatkan titik-titik limit kelas bawah pada sumbu horizontal dan pada sumbu vertikal ditempatkan frekuensi kumulatif. Kemudian titik-titik tersebut dihubungkan sehingga kita mendapatkan kurva yang mulus yang terus meningkat.

Contoh

Tentukan ogive dari tabel daftar distribusi frekuensi berikut dan kemudian tentukan berdasarkan kurva tersebut jumlah siswa yang nilainya di bawah 70.

Ogivenya

 

Dari kurva tersebut, dapat ditentukan jumlah siswa yang nilainya di bawah 70 ada 18 orang.

Tugas Statistik Ke-3 Skala Guttman

Skala Guttman yaitu skala yang menginginkan jawaban tegas seperti jawaban benar-salah, ya-tidak, pernah – tidak pernah. Untuk jawaban positif seperti setuju, benar, pernah dan semacamnya diberi skor 1; sedangkan untuk jawaban negatif seperti tidak setuju, salah, tidak, tidak pernah, dan semacamnya diberi skor 0. Dengan skala ini, akan diperoleh jawaban yang tegas yaitu Ya - Tidak, Benar - Salah dan lain-lain. Penelitian menggunakan skala Gutman dilakukan bila ingin mendapatkan jawaban yang tegas terhadap suatu permasalahan yang ditanyakan. 

Skala ini dapat pula dibentuk dalam bentuk checklist atau pilihan ganda. Skor 1 untuk skor tertinggi dan skor 0 untuk terrendah. (Analisa seperti pada skala likert).

Contoh :Apakah anda Setuju dengan kenaikan bbm?

a. Setuju b. Tidak Setuju

Skala Interval :merupakan skala pengukuran yang banyak digunakan untuk mengukur fenomena/gejala sosial, dimana pihak responden diminta melakukan rangking terhadap preferensi tertentu sekaligus memberikan nilai (rate) terhadap preferensi tersebut. 

Dalam penelitian kuantitatif, peneliti akan menggunakan istrumen untuk mengumpulkan data penelitian. Istrumen penelitian ini digunakan untuk meneliti variabel yang diteliti. Dengan demikian jumlah instrumen yang akan digunakan untuk penelitian tergantung pada jumlah variabel yang diteliti. Instrumen-instrumen penelitian sudah ada yang dibekukan, tapi ada yang harus dibuat peneliti sendiri. Karena instrumen penelitian akan diguankan untuk melakukan pengukuran dengan tujuan menghasilkan data kuantitatif yang akurat, maka setiap istrumen harus mempunyai skala.

Skala Guttman memiliki 2 indikator untuk menentukan apakah skala tersebut dapatdigunakan atau tidak, yaitu:

A. Koefisien Reprodusibilitas,

Koefisien reprodusibilitas digunakan untuk mengukur derajat ketepatan pertanyaanyang telah dibuat. Nilai koefisien reprodusibilitas pada skala Guttman diharapkanlebih besar dari 0.9.

B. Koefisien Skalabilitas

Koefisien Skalabilitas digunakan untuk mengukur apakah penyimpangan pada skalareprodusibilitas masih dalam batas yang dapat ditolerir. Nilai koefisien skalabilitas pada skala Guttman diharapkan lebih besar dari 0.6.